线性代数示例

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{2}{3}$ 和 $b = - \frac{1}{3}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.6

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 4.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

解题步骤 4.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

解题步骤 4.10

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

解题步骤 4.11

将 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.12

化简分母。

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解题步骤 4.12.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 4.12.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6

因为 $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- 0.4636476$ 。

$θ = - 0.4636476$

解题步骤 7

代入 $θ = - 0.4636476$ 和 $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 的值。

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$

线性代数 示例

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